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LEONARDO DA VINCI E LA GEOMETRIA

La geometria è una branca della matematica che si occupa dello studio delle forme, delle dimensioni, delle strutture e delle proprietà degli oggetti nello spazio. Essa analizza e descrive le relazioni tra punti, linee, curve, superfici, solidi e altre entità geometriche.

 

Nel Rinascimento, la geometria ha avuto un ruolo cruciale nell'arte, nell'architettura, nella scienza e nella filosofia. Questo periodo storico, che si estende grossomodo dal XIV al XVII secolo, è caratterizzato da un rinnovato interesse per il sapere classico e per la ricerca della conoscenza basata sull'osservazione e sulla ragione, piuttosto che sulla tradizione e sull'autorità.

 

Nell'arte, la geometria è stata fondamentale per lo sviluppo della prospettiva lineare, una tecnica che utilizza principi geometrici per creare l'illusione di profondità e spazio tridimensionale su una superficie bidimensionale. Artisti rinascimentali come Leonardo da Vinci, Filippo Brunelleschi e Piero della Francesca studiarono e applicarono la geometria per rendere le loro opere più realistiche e convincenti, aprendo la strada a una nuova era nella rappresentazione visiva.

 

In architettura, la geometria ha influenzato la progettazione di edifici e città, guidando gli architetti nella ricerca dell'armonia, della proporzione e dell'equilibrio. Filippo Brunelleschi, ad esempio, applicò principi geometrici nella progettazione della cupola del Duomo di Firenze, creando una struttura innovativa e iconica che rappresenta un trionfo dell'ingegneria e della geometria.

Nella scienza, la geometria ha svolto un ruolo importante nella rivoluzione scientifica rinascimentale, contribuendo alla comprensione e alla modellazione del mondo naturale. Matematici come Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler e Galileo Galilei applicarono principi geometrici nello studio dei movimenti celesti e nella formulazione delle leggi del moto, aprendo la strada alla nascita della scienza moderna.

 

Infine, nella filosofia, la geometria fu vista come un modello di ragionamento rigoroso e deduttivo, che portò alla ricerca della conoscenza attraverso l'uso della logica e della ragione anziché della fede o dell'autorità. Questo approccio razionale alla conoscenza, influenzato dalla geometria euclidea e dalla tradizione platonica, contribuì alla crescita del pensiero filosofico durante il Rinascimento.

In sintesi, la geometria nel Rinascimento non fu solo uno strumento tecnico, ma un principio guida che permeò tutte le sfere della conoscenza e dell'arte di quel periodo, contribuendo a trasformare radicalmente il modo in cui l'uomo comprendeva e interagiva con il mondo.

 

La geometria può essere suddivisa in diverse sottodiscipline, tra cui:

 

Geometria euclidea

E' la geometria basata sugli assiomi di Euclide, un matematico greco antico. Si occupa delle proprietà e delle relazioni degli oggetti nello spazio euclideo, come i piani, i segmenti di retta, i poligoni e i solidi.

 

Geometria analitica

Utilizza metodi algebraici per studiare le proprietà geometriche degli oggetti. Si basa sull'uso di coordinate e equazioni per rappresentare e risolvere problemi geometrici.

 

Geometria differenziale

Si concentra sullo studio delle curve e delle superfici nello spazio, analizzando proprietà come la curvatura, la lunghezza e l'area.

 

Geometria non euclidea

Comprende geometrie che si discostano dagli assiomi di Euclide e studiano spazi con proprietà diverse da quelle dello spazio euclideo, come la geometria iperbolica e la geometria ellittica.

La geometria ha numerose applicazioni pratiche in vari campi, tra cui architettura, ingegneria, grafica computerizzata, robotica, fisica, biologia e geografia. È una disciplina essenziale per la comprensione e la modellazione del mondo fisico e delle sue strutture.

 

la geometria? Sicuramente è uno dei grandi interessi di Leonardo, legato com'è al suo lavoro artistico tanto quanto a quello ingegneristico. È affascinato dalla costruzione con riga e compasso dei poligoni regolari. 

 

i poligoni regolari

Ecco un elenco dei poligoni regolari più comuni, con il numero di lati e gli angoli interni congruenti:

 

Triangolo equilatero: 3 lati, 3 angoli interni di 60 gradi ciascuno.
Quadrato: 4 lati, 4 angoli interni di 90 gradi ciascuno.
Pentagono regolare: 5 lati, 5 angoli interni di 108 gradi ciascuno.
Esagono regolare: 6 lati, 6 angoli interni di 120 gradi ciascuno.
Eptagono regolare (Ettagono): 7 lati, 7 angoli interni congruenti.
Ottagono regolare: 8 lati, 8 angoli interni di 135 gradi ciascuno.
Enneagono regolare: 9 lati, 9 angoli interni congruenti.
Decagono regolare: 10 lati, 10 angoli interni congruenti.
Undecagono regolare: 11 lati, 11 angoli interni congruenti.
Dodecagono regolare: 12 lati, 12 angoli interni congruenti.


E così via, continuando con la denominazione "poligono regolare con n lati" per qualsiasi numero di lati.

Questi sono solo alcuni esempi di poligoni regolari, ma la sequenza continua indefinitamente, con poligoni regolari di qualsiasi numero di lati.

 

In molte pagine troviamo tracciati poligoni con 3,4,5,6… fino alla figura con 48 lati del foglio 11 del Codice A di Madrid. Spesso però queste costruzioni geometriche non hanno il rigore matematico necessario. Sono approssimativi e anche quando Leonardo scrive di volerne dare una dimostrazione, quello che fornisce sono solo semplici spiegazioni operative. Molte considerazioni si trovano sparse nei suoi appunti e riguardano questioni elementari come, ad esempio, quelle relative agli angoli interni ed esterni di un triangolo, alla disuguaglianza triangolare o alla definizione di linea retta, frutto di studio che stava compiendo in quegli anni.

E poi naturalmente la prospettiva che riveste molta importanza nell'opera di Leonardo. 

 

Il Rinascimento costituisce un punto di svolta negli studi sulla rappresentazione della realtà e un progressivo allontanamento da un approccio empirico, da una ricerca di regole pratiche che ha origini antiche. È proprio a partire dall'epoca in cui vive Leonardo che si farà quel salto che porterà nei tre secoli successivi alla sistemazione di questo campo di studi nella creazione della geometria proiettiva ad opera di matematici come Desargues, Pascal, Monge e Poncelet.

 

studio della geometria Leonardo da Vinci

Da Vinci studiò approfonditamente la prospettiva lineare, una branca della geometria che si occupa di rappresentare la profondità su una superficie bidimensionale. Le sue conoscenze in questo campo gli permisero di creare opere d'arte straordinariamente realistiche, in cui gli oggetti sembravano tridimensionali e collocati nello spazio in modo convincente.

Uno dei suoi contributi più significativi alla geometria è rappresentato dai suoi studi sui solidi geometrici. Leonardo esplorò la struttura e le proprietà dei poliedri regolari e irregolari, contribuendo così alla comprensione della geometria solida. I suoi disegni e appunti mostrano una profonda comprensione dei concetti geometrici e delle relazioni tra le forme tridimensionali.

Inoltre, Leonardo da Vinci fu uno dei primi a esplorare la geometria della natura. Osservò attentamente le forme e le strutture presenti negli organismi viventi e nel paesaggio circostante, cercando di comprendere i principi geometrici che le governavano. Questi studi influenzarono profondamente il suo lavoro artistico, con l'applicazione di principi geometrici anche nella rappresentazione dei fenomeni naturali.

 

La prospettiva lineare 

è una tecnica artistica e geometrica utilizzata per rappresentare la profondità e la tridimensionalità su una superficie bidimensionale, come un dipinto o un disegno. È una delle principali tecniche utilizzate nell'arte occidentale per creare un'illusione di spazialità realistica.

La prospettiva lineare si basa su principi geometrici e ottici che regolano la percezione visiva umana. In breve, consiste nell'uso di linee convergenti e punti di fuga per rappresentare oggetti distanti che sembrano diminuire di dimensione man mano che si allontanano dallo spettatore.

 

Punto di vista o punto di osservazione

E' il punto da cui lo spettatore guarda la scena. È da questo punto che tutte le linee convergono verso i punti di fuga.

Il punto di vista o punto di osservazione è il punto da cui lo spettatore guarda la scena rappresentata in un'opera d'arte o in una composizione visiva. È un concetto fondamentale nella prospettiva artistica, in quanto influenza la percezione dello spazio e della profondità.

Il punto di vista determina la posizione da cui si osserva la scena e influenza la disposizione degli oggetti nella composizione. Ad esempio, un punto di vista basso, come quello di un osservatore seduto o disteso, può far sembrare gli oggetti più alti e imponenti, mentre un punto di vista alto, come quello di un osservatore in piedi su una collina, può far sembrare gli oggetti più bassi e distanti.

Nella prospettiva lineare, il punto di vista è anche il punto da cui tutte le linee visive convergono verso i punti di fuga sull'orizzonte. Questo significa che le linee che sono parallele nella realtà sembrano convergere verso i punti di fuga quando viste dall'osservatore.

Il punto di vista può essere scelto dall'artista per scopi artistici specifici, come enfatizzare determinati elementi della composizione o creare un senso di imponenza o intimità. Ad esempio, un punto di vista basso può essere utilizzato per rendere gli oggetti nella scena più imponenti e impressionanti, mentre un punto di vista alto può essere utilizzato per creare un senso di distanza e apertura.

In sintesi, il punto di vista è il punto da cui si osserva una scena e influisce sulla percezione dello spazio e della profondità nella composizione visiva. È un elemento importante nella creazione di opere d'arte realistiche e coinvolgenti.

 

Linee di riferimento

Sono le linee orizzontali e verticali che definiscono gli elementi della scena e i loro rapporti spaziali.

Le linee di riferimento nella prospettiva sono linee disegnate o immaginate che definiscono gli elementi della scena e i loro rapporti spaziali rispetto al punto di vista dell'osservatore. Queste linee sono fondamentali nella creazione di una rappresentazione tridimensionale su una superficie bidimensionale.

Le principali linee di riferimento includono:

 

Linea dell'orizzonte

E' una linea immaginaria che rappresenta l'occhio dell'osservatore e la linea all'infinito dell'orizzonte. In molte composizioni, corrisponde al livello degli occhi dell'osservatore. Le linee verticali nella scena si allineano spesso con la linea dell'orizzonte.

 

Linee verticali: sono le linee che indicano gli oggetti verticali nella scena, come gli edifici, gli alberi o le persone. Nella prospettiva lineare, le linee verticali nella scena sembrano convergere verso l'alto o verso il basso, a seconda del punto di vista dell'osservatore.

 

Linee orizzontali

Sono le linee che indicano gli oggetti orizzontali nella scena, come il suolo, le strade o gli orizzonti lontani. Queste linee possono essere parallele alla linea dell'orizzonte o convergere verso di essa, a seconda della prospettiva utilizzata.

Linee di convergenza: sono le linee disegnate per collegare gli oggetti nella scena ai punti di fuga sulla linea dell'orizzonte. Queste linee aiutano a creare l'illusione di profondità e distanza nella composizione.

Le linee di riferimento sono utilizzate dagli artisti per organizzare gli elementi della scena e per creare una composizione visiva coerente e realistica. Sono fondamentali nella prospettiva lineare, in quanto guidano il modo in cui gli oggetti sono posizionati e percepiti nella rappresentazione artistica.

 

Punti di fuga

Sono i punti sulla linea dell'orizzonte verso cui le linee parallele sembrano convergere. Di solito ci sono uno o più punti di fuga, a seconda della complessità della scena.

I punti di fuga sono punti immaginari sulla linea dell'orizzonte verso cui le linee parallele sembrano convergere quando sono disegnate in uno spazio prospettico. Sono un elemento fondamentale della prospettiva lineare e sono utilizzati dagli artisti per creare un senso di profondità e di spazialità nelle loro opere d'arte.

 

Ci sono due tipi principali di punti di fuga:

 

Punto di fuga principale

E' il punto verso cui convergono le linee parallele che sono perpendicolari alla linea dell'orizzonte. Questo punto viene spesso utilizzato per gli oggetti che si trovano frontalmente rispetto all'osservatore. Ad esempio, in una strada rettilinea che si estende all'infinito, il punto di fuga principale può essere il punto verso cui sembrano convergere i bordi della strada.

 

Punti di fuga aggiuntivi

Sono punti di fuga che si trovano sulla linea dell'orizzonte e verso cui convergono le linee parallele che si estendono lungo altre direzioni nello spazio prospettico. Questi punti di fuga vengono utilizzati per gli oggetti che si trovano in posizioni laterali rispetto all'osservatore. 

Ad esempio, in una scena che include edifici su entrambi i lati di una strada, possono essere presenti punti di fuga aggiuntivi per rappresentare la prospettiva degli edifici sul lato destro e sinistro della strada.

I punti di fuga sono utilizzati dagli artisti per disegnare oggetti e scene in modo realistico, creando l'illusione di profondità e spazio tridimensionale su una superficie bidimensionale. Sono una componente chiave della prospettiva lineare e vengono studiati e applicati negli studi d'arte e nei corsi di disegno per comprendere e rappresentare la percezione visiva dello spazio.

 

Linee di convergenza

Sono le linee disegnate per collegare gli oggetti nella scena al punto di fuga corrispondente. Queste linee aiutano a creare l'illusione di profondità e distanza.

Utilizzando questi principi, gli artisti possono creare composizioni che sembrano avere una profondità spaziale realistica, anche se sono dipinte su una superficie piatta. 

 

La prospettiva lineare è stata ampiamente utilizzata dagli artisti rinascimentali come Leonardo da Vinci, Filippo Brunelleschi e Piero della Francesca per creare opere d'arte che sembravano quasi tridimensionali.

La prospettiva lineare è ancora oggi una tecnica fondamentale nell'arte visiva e viene insegnata nelle scuole d'arte e nei corsi di disegno come strumento per creare rappresentazioni realistiche dello spazio e della profondità.

studi prospettiva e geometria Leonardo da Vinci

Piero della Francesca, Pala di Brera

I protagonisti di questa svolta sono pittori e architetti: da Leon Battista Alberti, che codifica e amplia nel trattato Della Pittura le idee di Filippo Brunelleschi a Piero della Francesca con il suo De prospectiva pingendi , il più importante trattato rinascimentale sulla prospettiva. 

Soprattutto quest'ultimo, autore anche di opere specificatamente matematiche come De quinque corporibus regolaribus , ripresa tempo dopo anche da Luca Pacioli nella sua Divina proporzione , e il Trattato d'abaco che dimostra la preparazione matematica di Piero della Francesca, appare quanto mai consapevole dell 'importanza di poter collegare la rappresentazione pittorica a regole matematiche precise. Molto più di Alberti ancora legato ad un approccio empirico antico.

 

Leonardo, che conosceva bene l'opera di Leon Battista Alberti e Piero della Francesca, pochi anni dopo il De prospectiva pingendi scrisse un trattato sulla pittura che, nella versione originale, è andato perduto. L'approccio leonardesco alla prospettiva, però, è totalmente diverso rispetto a quello di Piero della Francesca. Non si dimostra favorevole alla matematizzazione della rappresentazione tridimensionale e appare più attento al risultato artistico che a un insieme coerente di regole matematiche applicate a oggetti geometrici. Accanto a una prospettiva lineare o matematica, Leonardo insiste su una “prospettiva dei perdite”, che tiene conto delle caratteristiche atmosferiche che influenzano la visione, e una “prospettiva di spedizione” che riguarda la modifica delle caratteristiche cromatiche, delle sfumature di colore. 

Una scienza della visione più che una teoria matematica come quella di Piero della Francesca, studi finalizzati alla rappresentazione artistica come quelli di anatomia e non fini a sé stessi.

 

la prospettiva nel rinascimento

Piero della Francesca, Flagellazione di Cristo, 1470

«Havendo, Signor mio Illustrissimo, visto e considerato horamai ad sufficientia le prove di tutti quelli che si reutono maestri e compositori de istrumenti bellici […] mi exforzerò […] farmi intender da Vostra Excellentia aprendo a quella li secreti miei […] Et se alcuna de le sopradicte cose a alchuno paressino impossibile e infactibile, me offerò paratissimo ad farne sperimentale in el parco vostro». 

La lettera, risalente ai primi anni ottanta del XV secolo, è scritta da Leonardo con l'aiuto di un letterato e inviata a Ludovico il Moro, duca di Milano. Per la prima volta affida alle parole e non a splendidi disegni, come aveva fatto a Firenze, la presentazione delle proprie capacità, sottolineando l'aspetto di invenzioni inaudite, mirabolanti e segrete. 

Il clima a Milano è di preparazione alla ripresa della guerra contro Ferrara e Leonardo ritiene che sia il momento migliore per presentare “ponti leggerissimi e forti” e “carri coperti, sicuri e inoffensibili”.

 

La lettera, dal punto di vista che stiamo affrontando, è molto più di un tentativo di ottenere incarichi dal duca. Testimonianza di un momento di svolta nella vita culturale di Leonardo che comincia esplicitamente a prendere le distanze dal “sapere pratico” affermando l'importanza di un sistema teorico fatto di regole generali e basato su fonti scritte. Un approccio che ha come conseguenza la realizzazione di un vero e proprio tirocinio per sé stesso e il confronto con quel mondo della cultura alta che aveva a che fare soprattutto con la parola, più che con l'immagine. E con il latino. 

 

All'età di trentacinque anni inizia un intenso lavoro di emancipazione culturale che porterà avanti in modo particolarmente ossessivo dal 1483 al 1489. La cultura orale non è più sufficiente a Leonardo che stila elenchi di volumi da reperire e comincia a costruirsi una biblioteca fornita.

 

Con grande interesse, quindi, Leonardo apprende che, nel 1493 a Urbino e nel 1494 a Venezia, era stato dato alle stampe in volgare l'opera enciclopedica Summa de aritmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità . L'autore è uno dei più grandi matematici dell'epoca, il frate Luca Pacioli anch'egli toscano, che tanta parte avrà nella vita di Leonardo negli anni milanesi. Acquista prontamente l'opera che studia con avidità, dedicandosi in particolare alla geometria contenuta nell'opera di Pacioli, al problema della quadratura del cerchio e alla teoria delle lunule e riassumendo alcune parti dedicate alle proporzioni in alcune pagine oggi raccolte nel Codice di Madrid.

 

fonte: medium.com

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Leonardo da Vinci studi di ottica e di geometria

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